Решение.

\(2^{sin(x)}5^{sin(x)}- 2^{sin(x)}5^{-cos(x)} =0\) 
\( 2^{sin(x)}(5^{sin(x)}-5^{-cos(x)}) =0 \)
Так как  \( 2^{sin(x)}>0 \), то \(5^{sin(x)}=5^{-cos(x)}\)
\(cos(x)=-sin(x)\)
\(tg(x)=-1\) 
\( x=-\pi/4+{\pi}k, k \in Z \) - общее решение
Пусть \( k=0  \) ,   \( x=-\frac{\pi}{4}\) - не входит в указанный отрезок
\( k=-1  \) ,   \(x_1= -\frac{5\pi}{4}\) -  входит в указанный отрезок 
\( k=-2  \) , \( x_2= -\frac{9\pi}{4}\) -  входит в указанный отрезок.