C5 2013 227
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.
Решение.
Введем следующие обозначения:
- фунция определена на отрезке
.
-параметрическая прямая.
Переформулируем постановку задачи:найти все значения параметра a, при каждом из которых графики функций и
имеют одну точку пересечения.
I. Пусть
В этом случае имеем одну точку пересечения - т.
II. Пусть .Исследуем график функции
- возрастающая прямая, пересекает ось абсцисс в точке
, ось ординат в точке
. При
. График прямой будет выглядеть следующим образом.
Т.е при малых отрицательных значениях параметра а функции и
пересекаются в двух точках, и при
графики пересекутся в точке
Действительно, подставим координаты точки пересечения в уравнение прямой. Получим
При функции
и
пересекаются в одной точке
Представленный ниже график прямой получается при Действительно, подставим координаты точки пересечения
в уравнение прямой. Получим
.
При графики функций не пересекаются.
III. При графики функций также не пересекаются.
Ответ.